已知x1,x2是方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)的两个根,证S1=x1+x2,S2=x1^2+x2^2,S3=x1^3+x2^3,证明aS3+bS2+cS1=0

因为x1,x2是方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)的两个根,所以有
ax1²+bx1+c=0 (1)
ax2²+bx2+c=0 (2)
(1)*x1+(2)*x2,关于a,b,c分别合并同类项得
aS3+bS2+cS1=0

由根与系数的关系知
S1=x1+x2=-b/a x1x2=c/a
则
S2=x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=S1^2-2x1x2=(b/a)^2-2c/a
S3=x1^3+x2^3=(x1+x2)(x1^2+x1x2+x2^2)=S1(S2+c/a)=(-b/a)[(b/a)^2-c/a]
将S1，S2，S3代入aS3+bS2+cS1中整理，得aS3+bS2+cS1=0